积分法求圆面积

众所周知，圆的解析式（以原点为圆心， $r$ 为半径）为 $x^2+y^2=r^2, (x\in [-r, r])$。

经过数学推导可得：圆在 $x$ 轴上方的部分是 $y=\sqrt{r^2-x^2}, (x\in [-r, r])$。

根据积分方程可得：此部分的面积为 $S_{上半部分}=\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}|_{-r}^{r}=(\frac{1}{2}r\sqrt{r^2-r^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{r}{r})-(\frac{1}{2}(-r)\sqrt{r^2-(-r)^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{-r}{r})$。

我们知道：$\arcsin 1=\frac{\pi}{2}$，$\arcsin -1=-\frac{\pi}{2}$。

所以 $S_{上半部分}=\frac{r^2}{2}\times\frac{\pi}{2}-\frac{r^2}{2}\times(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi r^2}{2}$。

又因为 $S_{整圆}=S_{下半部分}+S_{上半部分}=2S_{上半部分}$。

所以 $S_{整圆}=\pi r^2$。

证毕。