众所周知,圆的解析式(以原点为圆心, r 为半径)为 x2+y2=r2,(x∈[−r,r])。
经过数学推导可得:圆在 x 轴上方的部分是 y=r2−x2,(x∈[−r,r])。
根据积分方程可得:此部分的面积为 S上半部分=∫−rrr2−x2dx=21xr2−x2+2r2arcsinrx∣−rr=(21rr2−r2+2r2arcsinrr)−(21(−r)r2−(−r)2+2r2arcsinr−r)。
我们知道:arcsin1=2π,arcsin−1=−2π。
所以 S上半部分=2r2×2π−2r2×(−2π)=2πr2。
又因为 S整圆=S下半部分+S上半部分=2S上半部分。
所以 S整圆=πr2。
证毕。